Вычислить площадь, ограниченную задаными пораболами y = 2x² + 6x - 3 ; y = -x² + x + 5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения этих двух парабол.

Для этого приравниваем уравнения парабол и найдем x:

2x² + 6x - 3 = -x² + x + 5
3x² + 5x - 8 = 0

Далее решаем это квадратное уравнение:

D = 5² - 43(-8) = 25 + 96 = 121

x1 = (-5 + √121) / 6 = (-5 + 11) / 6 = 1
x2 = (-5 - √121) / 6 = (-5 - 11) / 6 = -2

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 1: y = 21² + 61 - 3 = 2 + 6 - 3 = 5
Для x = -2: y = 2(-2)² + 6(-2) - 3 = 8 - 12 - 3 = -7

Таким образом, точки пересечения парабол y = 2x² + 6x - 3 и y = -x² + x + 5 равны (1, 5) и (-2, -7).

Площадь, ограниченная заданными параболами, будет равна разности интегралов этих функций на участке пересечения.

S = ∫(2x² + 6x - 3)dx - ∫(-x² + x + 5)dx от x = -2 до x = 1

S = [(2/3)x^3 + 3x^2 - 3x] от -2 до 1 - [(-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 5x] от -2 до 1

S = [(2/3)1^3 + 31^2 - 31] - [(2/3)(-2)^3 + 3(-2)^2 - 3(-2)] - [(-1/3)1^3 + (1/2)1^2 + 51] + [(-1/3)(-2)^3 + (1/2)(-2)^2 + 5(-2)]

S = [(2/3) + 3 - 3] - [(-8/3) + 12 + 6] - [(-1/3) + (1/2) + 5] + [(8/3) + 2 + (-10)]

S = 2/3 + 3 - 3 + 8/3 - 12 - 6 + 1/3 - 1/2 - 5 - 8/3 + 2 - 10

S = 2/3 - 1/2 - 7

S = (4 - 3 - 42) / 6

S = -41 / 6

Ответ: площадь, ограниченная заданными параболами, равна -41/6.