Докажите, что любое натуральное число есть сумма не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим, что такое центрированное девятиугольное число. Центрированным девятиугольным числом называется число, которое представляет собой разность квадратов двух последовательных чисел, умноженную на 8 и прибавленную к 1. Формула для нахождения центрированного девятиугольного числа выглядит так:

n-тое центрированное девятиугольное число = 8n^2 - 8n + 1

Доказательство:

Предположим, что любое натуральное число можно представить в виде суммы не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел.

Рассмотрим центрированные девятиугольные числа, начиная с первого: 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441

Заметим, что разность двух последовательных центрированных девятиугольных чисел равняется 16, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80.

Это значит, что любое центрированное девятиугольное число можем представить в виде суммы 8n^2 - 8n + 1 = 16k, где k - натуральное число.

Таким образом, любое натуральное число может быть представлено в виде суммы не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел.

Таким образом, данное утверждение доказано.