Как работают перестановочные матрицы перестановочными с матрицей A (3 −1) (2 4) являются все матрицы B = (α α) (−2α 0 , α ∈ R. Почему это так,если с диагональными это понятно то тут нет и как это вообще работает
Как видно из вычислений, AB = BA, то есть матрица B коммутирует с матрицей A. Это происходит потому, что перестановочные матрицы перестановочными с данной матрицей A являются матрицы из линейного пространства, порождаемого матрицей A.
Это не зависит от значения переменной α, поэтому для всех α из множества действительных чисел перестановочные матрицы перестановочными с матрицей A будут иметь указанный выше вид.
Перестановочные матрицы перестановочными с матрицей A
(3 −1
(2 4
являются матрицы, которые коммутируют с матрицей A, то есть AB = BA.
Пусть матрица B
(α α
(−2α 0)
Тогда произведение AB равно:
AB
(3 −1) * (α α) = (3α − α
(2 4) (−2α 0) (2α 8α)
BA
(α α) * (3 −1) = (3α − α
(−2α 0) (2 4) (−6α −2α)
Как видно из вычислений, AB = BA, то есть матрица B коммутирует с матрицей A. Это происходит потому, что перестановочные матрицы перестановочными с данной матрицей A являются матрицы из линейного пространства, порождаемого матрицей A.
Это не зависит от значения переменной α, поэтому для всех α из множества действительных чисел перестановочные матрицы перестановочными с матрицей A будут иметь указанный выше вид.