Как работают перестановочные матрицы перестановочными с матрицей A =
(3 −1)
(2 4)
являются все матрицы B = (α α)
(−2α 0)
, α ∈ R. Почему это так,если с диагональными это понятно то тут нет и как это вообще работает

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Перестановочные матрицы перестановочными с матрицей A =
(3 −1)
(2 4)
являются матрицы, которые коммутируют с матрицей A, то есть AB = BA.

Пусть матрица B =
(α α)
(−2α 0)

Тогда произведение AB равно:

AB =
(3 −1) * (α α) = (3α − α)
(2 4) (−2α 0) (2α 8α)

BA =
(α α) * (3 −1) = (3α − α)
(−2α 0) (2 4) (−6α −2α)

Как видно из вычислений, AB = BA, то есть матрица B коммутирует с матрицей A. Это происходит потому, что перестановочные матрицы перестановочными с данной матрицей A являются матрицы из линейного пространства, порождаемого матрицей A.

Это не зависит от значения переменной α, поэтому для всех α из множества действительных чисел перестановочные матрицы перестановочными с матрицей A будут иметь указанный выше вид.