В четырехугольнике ABCD AB=3, BC=5, CD=6, AD=4, АС=7. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите угол AOВ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины диагоналей. Рассмотрим треугольник AOB, в котором известны стороны AB=3, AO и BO - неизвестные стороны. По теореме косинусов:

AO^2 + BO^2 - 2 AO BO * cos(AOB) = AB^2

AO^2 + BO^2 - 2 AO BO * cos(AOB) = 3^2

Аналогично для треугольника COD, в котором известны стороны CD=6, CO и DO - неизвестные стороны:

CO^2 + DO^2 - 2 CO DO * cos(COD) = CD^2

CO^2 + DO^2 - 2 CO DO * cos(COD) = 6^2

Так как AC - диагональ, то она равна AO + OC = 7, а значит AO = CO. Так как AD - диагональ, то она равна BO + DO = 4, а значит BO = DO.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

AO^2 + BO^2 - 2 AO BO cos(AOB) = 9 --------------(1)
AO^2 + BO^2 - 2 AO BO cos(AOB) = 9 --------------(2)

Выразим cos(AOB) и cos(COD) из уравнения (1) и (2) соответственно и подставим их в выражения для углов:

cos(AOB) = (AO^2 + BO^2 - 9) / (2 AO BO)
cos(COD) = (CO^2 + DO^2 - 36) / (2 CO DO)

Учитывая равенство длин диагоналей, из уравнений было также следует, что

AO^2 + BO^2 = CO^2 + DO^2

получаем, что

cos(AOB) = (AO^2 + BO^2 - 9) / (2 AO BO) = (CO^2 + DO^2 - 36) / (2 CO DO)

Выразим cos(AOB) через угол BOC. Введем обозначение --> AOB = x, AOC = y

уравним теперь cos(AOB) и cos(y + x):

cos(x) = cos(y + x)

cosx = cosycosx - sinysiny

1 = cos(BOC)

Осталось сосчитать угол --> x = arcsin(1/3) ≈ 1.82 рад. ≈ 104 °.