ОЛИМПИАДА, ТИИМ осталось 2 часа, может кто-то знает Угол при основании равнобедренного треугольника равен α=60о . В каком отношении mn (несократимая дробь) делит площадь этого треугольника прямая, делящая его основание в отношении 2:1 и составляющая угол β=30о с меньшей частью основания? В ответе укажите m+n .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, тогда его высота h делит основание на отрезки 2a и a.

Из условия задачи у нас имеются два треугольника:

Простой прямоугольный треугольник, вершина которого - середина основания равнобедренного треугольника. Такой треугольник имеет гипотенузу a и катеты a/2 и a/2*sqrt(3).

Треугольник, представляющий собой катеты прямоугольного треугольника и часть высоты основного треугольника. Такой треугольник имеет катеты a/2 и a/2*sqrt(3) и гипотенузу h.

Площадь равнобедренного треугольника равна 1/2ah. Площадь прямоугольного треугольника, делённого прямой в отношении 2:1, равна 1/2a/2a/2sqrt(3) + 1/2a/2sqrt(3)a/2sqrt(3) = 1/8a^2sqrt(3) + 1/8a^23 = a^2sqrt(3)/4.

Таким образом, необходимо найти такое mn, чтобы a^2sqrt(3)/4 = 1/2a*h, что эквивалентно mn = 2.

Ответ: m+n = 2.