Задача по геометрии Найдите сумму всех целых k, при которых две прямые x-3y-1=0 и 2x+y-k/2=0 пересекаются в четвертом квадрате

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы определить точку пересечения прямых, мы можем решить систему уравнений:

x - 3y - 1 = 0
2x + y - k/2 = 0

Первое уравнение можно преобразовать к виду y = (x - 1)/3, а второе уравнение к виду y = -2x + k/2.

Подставляем первое уравнение во второе:

(x - 1)/3 = -2x + k/2
Умножаем обе части уравнения на 3:
x - 1 = -6x + 3k/2
6x + x = 1 + 3k/2
7x = 1 + 3k/2
14x = 2 + 3k

Теперь можем найти x:
x = (2 + 3k)/14

Подставляем x в первое уравнение и решаем относительно y:
(2 + 3k)/14 - 3y - 1 = 0
2 + 3k - 42y - 14 = 0
3k - 42y - 12 = 0
3k = 42y + 12
k = 14y + 4

Так как прямые должны пересекаться в четвертом квадранте, значит угол наклона одной из прямых должен быть на 90 градусов больше или меньше другой прямой. Угол наклона прямой выражается коэффициентом перед x в уравнении прямой.

В первом уравнении этот коэффициент равен 1/3, во втором случае угол наклона равен -2.

Угол наклона прямой выражается через тангенс, например, tang A = -2. Если угол A равен -2, то тангенс -tg A = 2.

Для того чтобы прямые были перпендикулярны, tg угла наклона одной прямой должен равняться -1/tg угла наклона другой прямой. Отсюда следует, что одним из возможных значения может быть k = 14.

Таким образом, сумма всех целых k, при которых прямые пересекаются в четвертом квадранте равна 14.