Типовая работа по Линейной алгебре нужна помощь в решении 1 Даны вершины тетраэдра A( 3 2 -4) B(2 -4 -1) C(-6 -5 -8) D(6 9 8

1. Найти длину ребра АВ.
2. Написать уравнение плоскости, содержащей грань АВС.
3. Найти площадь грани АСВ.
4. Написать уравнение прямой АС
5. Написать уравнение высоты, опущенной из вершины D.
6. Найти угол между гранями АСВ и АСD.
7. Найти угол между ребрами DС и DА.
8. Найти объем тетраэдра АВСD и длину ее высоты, опущенной из вершины D.
9. Найти проекцию вершины D на грань АВС.
10. Найти точку пересечения медиан треугольника АВС.
11. Найти угол между ребром АD и гранью АВС.
12. Написать уравнение плоскости, проходящей через т. М (10,10,10) и содержащей высоту, опущенную из вершины D.
13. Записать уравнение плоскости АBС в форме уравнения плоскости в отрезках.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Длина ребра AB
AB = sqrt((2-3)^2 + (-4-2)^2 + (-1-(-4))^2) = sqrt(1 + 36 + 9) = sqrt(46)

Уравнение плоскости, содержащей грань ABC
Уравнение плоскости можно найти используя векторное произведение векторов AB и AC
n = AB x AC = (2-3, -4-2, -1-(-4)) x (-6-3, -5-2, -8-(-1)) = (1, -6, 3) x (-9, -7, -7) = (-33, -6, 49
Уравнение плоскости будет иметь вид: -33x - 6y + 49z + d = 0, чтобы найти d подставим координаты точки A
-333 - 62 + 49*(-4) + d =
-99 - 12 - 196 + d =
d = 30
Итоговое уравнение плоскости: -33x - 6y + 49z + 307 = 0

Площадь грани ACB
Площадь грани можно найти через векторное произведение
S = 1/2 |AB x AC| = 1/2 |(1, -6, 3) x (-9, -7, -7)| = 1/2 |(-33, -6, 49)| = 1/2 sqrt(33^2 + 6^2 + 49^2) = 1/2 sqrt(3350)

Уравнение прямой AC
Прямая проходит через точку A(3, 2, -4) и C(-6, -5, -8), уравнение прямой задается параметрически
x = 3 - 9
y = 2 - 7
z = -4 - 7t

Уравнение высоты, опущенной из вершины D
Высота проходит через точку D(6, 9, 8) и перпендикулярна плоскости ABC
Уравнение высоты будет иметь вид: n*(r-r0) = 0, где n = (-33, -6, 49) - вектор нормали плоскости и r0 = (6, 9, 8) - координаты точки D.

Угол между гранями ACB и ACD
Угол между плоскостями равен углу между нормалями плоскостей, который можно найти по их координатам.

Угол между ребрами DC и DA
Угол между ребрами равен углу между векторами DC и DA, который можно найти используя скалярное произведение.

Объем тетраэдра ABCD
Объем тетраэдра можно найти через смешанное произведение векторов AB, AC и AD.

Проекция вершины D на грань ABC
Проекция вершины D на плоскость ABC будет точкой пересечения перпендикуляра из D к плоскости ABC.

Точка пересечения медиан треугольника ABC
Точка пересечения медиан треугольника это центр масс треугольника, который определяется как точка пересечения медиан.

Угол между ребром AD и гранью ABC
Угол между ребром и плоскостью равен углу между векторами ребра и нормали плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(10, 10, 10) и содержащей высоту, опущенную из вершины D
Уравнение плоскости будет иметь вид: n*(r-r0) = 0, где n - вектор нормали плоскости равный вектору высоты из D и r0 = (10, 10, 10) - координаты точки M.

Уравнение плоскости ABC в форме уравнения плоскости в отрезках
Уравнение плоскости можно переписать используя координаты вершин и найденное уравнение плоскости.