Типовая работа по Линейной алгебре нужна помощь в решении 1 Даны вершины тетраэдра A( 3 2 -4) B(2 -4 -1) C(-6 -5 -8) D(6 9 8)

1. Найти длину ребра АВ.
2. Написать уравнение плоскости, содержащей грань АВС.
3. Найти площадь грани АСВ.
4. Написать уравнение прямой АС
5. Написать уравнение высоты, опущенной из вершины D.
6. Найти угол между гранями АСВ и АСD.
7. Найти угол между ребрами DС и DА.
8. Найти объем тетраэдра АВСD и длину ее высоты, опущенной из вершины D.
9. Найти проекцию вершины D на грань АВС.
10. Найти точку пересечения медиан треугольника АВС.
11. Найти угол между ребром АD и гранью АВС.
12. Написать уравнение плоскости, проходящей через т. М (10,10,10) и содержащей высоту, опущенную из вершины D.
13. Записать уравнение плоскости АBС в форме уравнения плоскости в отрезках.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Длина ребра AB:
AB = sqrt((2-3)^2 + (-4-2)^2 + (-1-(-4))^2) = sqrt(1 + 36 + 9) = sqrt(46)

Уравнение плоскости, содержащей грань ABC:
Уравнение плоскости можно найти используя векторное произведение векторов AB и AC:
n = AB x AC = (2-3, -4-2, -1-(-4)) x (-6-3, -5-2, -8-(-1)) = (1, -6, 3) x (-9, -7, -7) = (-33, -6, 49)
Уравнение плоскости будет иметь вид: -33x - 6y + 49z + d = 0, чтобы найти d подставим координаты точки A:
-333 - 62 + 49*(-4) + d = 0
-99 - 12 - 196 + d = 0
d = 307
Итоговое уравнение плоскости: -33x - 6y + 49z + 307 = 0

Площадь грани ACB:
Площадь грани можно найти через векторное произведение:
S = 1/2 |AB x AC| = 1/2 |(1, -6, 3) x (-9, -7, -7)| = 1/2 |(-33, -6, 49)| = 1/2 sqrt(33^2 + 6^2 + 49^2) = 1/2 sqrt(3350)

Уравнение прямой AC:
Прямая проходит через точку A(3, 2, -4) и C(-6, -5, -8), уравнение прямой задается параметрически:
x = 3 - 9t
y = 2 - 7t
z = -4 - 7t

Уравнение высоты, опущенной из вершины D:
Высота проходит через точку D(6, 9, 8) и перпендикулярна плоскости ABC:
Уравнение высоты будет иметь вид: n*(r-r0) = 0, где n = (-33, -6, 49) - вектор нормали плоскости и r0 = (6, 9, 8) - координаты точки D.

Угол между гранями ACB и ACD:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями плоскостей, который можно найти по их координатам.

Угол между ребрами DC и DA:
Угол между ребрами равен углу между векторами DC и DA, который можно найти используя скалярное произведение.

Объем тетраэдра ABCD:
Объем тетраэдра можно найти через смешанное произведение векторов AB, AC и AD.

Проекция вершины D на грань ABC:
Проекция вершины D на плоскость ABC будет точкой пересечения перпендикуляра из D к плоскости ABC.

Точка пересечения медиан треугольника ABC:
Точка пересечения медиан треугольника это центр масс треугольника, который определяется как точка пересечения медиан.

Угол между ребром AD и гранью ABC:
Угол между ребром и плоскостью равен углу между векторами ребра и нормали плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(10, 10, 10) и содержащей высоту, опущенную из вершины D:
Уравнение плоскости будет иметь вид: n*(r-r0) = 0, где n - вектор нормали плоскости равный вектору высоты из D и r0 = (10, 10, 10) - координаты точки M.

Уравнение плоскости ABC в форме уравнения плоскости в отрезках:
Уравнение плоскости можно переписать используя координаты вершин и найденное уравнение плоскости.