Якласс. олимпиада по математике Сколькими способами можно расставить цифры от 0 до 9 вместо * в выражении 2019 * * * * таким образом, чтобы полученное число делилось на 6, 15 и 2?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы число делилось на 6, оно должно быть четным и деляться на 3. Для того чтобы число делилось на 15, оно должно делиться на 5 и на 3. Таким образом, число должно делиться и на 2, и на 3, и на 5.

Для того чтобы число делилось на 2, последняя цифра должна быть четной (0, 2, 4, 6, 8). Для того чтобы число делилось на 3, сумма всех цифр числа должна быть делимой на 3. А для того чтобы число делилось на 5, последняя цифра должна быть 0 или 5.

Таким образом, у нас есть следующие требования для последней цифры * пятизначного числа:

Должна быть четной (0, 2, 4, 6, 8)Должна быть 0 или 5

Таким образом, возможные варианты для последней цифры * это 0 и 5.

Для всех возможных вариантов для последней цифры, нужно перебрать все возможные комбинации оставшихся 8 цифр (оба * не могут быть равны 0 и 5, так как число не будет делиться на 15). Посчитаем количество комбинаций:

Для последней цифры 0:

У нас есть 4 варианта: 0, 2, 4, 6, 8.Для оставшихся 8 цифр есть 8! = 40320 возможных перестановок.Общее количество возможных комбинаций = 4 * 40320 = 161280.

Для последней цифры 5:

У нас есть 5 вариантов: 0, 2, 4, 6, 8.Для оставшихся 8 цифр есть 8! = 40320 возможных перестановок.Общее количество возможных комбинаций = 5 * 40320 = 201600.

Итак, общее количество способов расставить цифры от 0 до 9 вместо * таким образом, чтобы полученное число делилось на 6, 15 и 2, равно 161280 + 201600 = 362880 способов.