Задача на доказательство при помощи Бинома Ньютона Докажите, что числа 4562^n и 2^n оканчиваются одной и той же цифрой при любом натуральном n.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение при помощи бинома Ньютона.

Заметим, что число 4562 можно представить в виде 4560 + 2. Таким образом, мы можем записать:

(4560 + 2)^n = 4560^n + C(n, 1) 4560^(n-1) 2 + C(n, 2) 4560^(n-2) 2^2 + ... + 2^n.

Так как каждое слагаемое, кроме последнего, содержит множитель 4560, то все они заканчиваются на 0. Отсюда следует, что при делении на 10 все эти слагаемые будут давать остаток 0.

Теперь посмотрим на последнее слагаемое 2^n. Очевидно, что оно заканчивается цифрой 2 при возведении 2 в любую степень.

Итак, сумма всех слагаемых, кроме последнего, завершается на 0, а последнее слагаемое заканчивается на 2 при любом натуральном n. Следовательно, числа 4562^n и 2^n оканчиваются на одну и ту же цифру при любом натуральном n.