Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите,что прямая проходящяя через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне СD параллелограмма

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть M и N - середины отрезков EA и EB соответственно.

Так как E не лежит в плоскости ABCD, то вектор EM и EN будут неколлинеарны с вектором AB, то есть вектор EM не коллинеарен AB. Поэтому прямая MN НЕ параллельна AB.

Теперь обозначим точку пересечения прямой MN с прямой CD за F.

Так как M и N - середины отрезков EA и EB, то вектор MF будет равен половине вектора EA, а вектор NF - половине вектора EB.

Отсюда получаем, что MF = 1/2 EA и NF = 1/2 EB.

Так как вектор EA = AB, то MF = 1/2 AB.

Аналогично, так как вектор EN = -BA (так как вектор AB = -BA), то NF = 1/2 (-BA) = -1/2 BA.

Так как MF = 1/2 AB и NF = -1/2 BA, то вектор F из точки F в B равен -1/2 AC.

Это означает, что F лежит на отрезке, который является продолжением стороны AB и равен -1/2 AC.

Таким образом, прямая проходящая через середины отрезков EA и EB, параллельна стороне CD параллелограмма.