Векторы и координаты
Показать, что векторы l1,l2,l3 пространства R3 образуют базис и найти координаты вектора x в этом базисе:
. l1 = (1, 4, 3 ) ; l2 = ( 6, 3, 5 ); l3 = ( 3, 1, 4); x=(21,18 ,19).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы показать, что векторы l1, l2, l3 образуют базис пространства R3, нужно проверить их линейную независимость (то есть найти определитель матрицы, составленной из этих векторов) и убедиться, что их линейная оболочка совпадает с всем пространством R3.

Для начала составим матрицу из векторов l1, l2, l3 и проверим их линейную независимость:

| 1 6 3 |
| -4 3 1 |
| 3 5 4 |

Вычислим определитель этой матрицы с помощью правила треугольников или правила Саррюса:

det = 1(34 - 15) - 6(34 - 13) + 3(-45 - 3*6) = 4 - 18 + (-48) = -62

Так как определитель матрицы не равен нулю, то векторы l1, l2, l3 линейно независимы и образуют базис пространства R3.

Далее найдем координаты вектора x=(21, 18, 19) в этом базисе. Для этого нам нужно найти такие числа a, b, c, что x = al1 + bl2 + c*l3.

Решим систему уравнений:

21 = a1 + b6 + c3
18 = a(-4) + b3 + c1
19 = a3 + b5 + c*4

Подставим значения a, b, c из решения системы уравнений и найдем координаты вектора x в базисе {l1, l2, l3}.