Решите уравнение x²+1=0 в 5-адических числах.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения уравнения x² + 1 = 0 в 5-адических числах, мы будем искать корень этого уравнения в виде x = a₀ + a₁5 + a₂5² + ..., где a₀, a₁, a₂, ... - элементы множества {0, 1, 2, 3, 4}.

Подставляем x = a₀ + a₁5 + a₂5² + ... в уравнение x² + 1 = 0:

(a₀ + a₁5 + a₂5² + ...)² + 1 = 0

Раскрываем скобки:

a₀² + 2a₀a₁5 + 2a₀a₂5² + (a₁5)² + 2(a₁5)a₂5 + (a₂5)² + ... + 1 = 0

Учитывая, что мы работаем в 5-адической системе счисления, получаем:

a₀² + 1 = 0

Из этого уравнения видно, что a₀ должно быть равно 4. Остальные коэффициенты a₁, a₂, ... = 0, так как удовлетворить уравнение в пятеричной системе нельзя.

Следовательно, решением уравнения x² + 1 = 0 в 5-адических числах является x = 4.