Задача по геомерии Лучи ВО и СО - биссектрисы углов В и С треугольника АВС. На сторонах АВ и АС отмечены точки М и N так, что ВМ=МО, СN=NO. Докажите, что точки М, О и N лежат на одной прямой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого факта используем теорему Штейнера (об обратной биссектрисе).

Пусть ОМ и ОN пересекают биссектрисы углов В и С в точках P и Q соответственно. Тогда, так как ВМ=MO и СN=NO, то треугольники BMP и CNQ равны по стороне-уголу-стороне.

Следовательно, углы BMP и CNQ равны, то есть угол МОP равен углу ОNQ. Но угол МОР и угол ОNQ - это углы при основаниях равных треугольников BMP и CNQ. Значит, треугольники MOR и NOQ равны по стороне-уголу-стороне.

Следовательно, угол MOQ равен углу MON, значит, точки M, O и N лежат на одной прямой.