Докажите, что для площади S любого многоугольника,описанного около окружности радиуса r, справедлива формула S=p*r Где r-полупериметр многоугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим случай треугольника, описанного около окружности радиуса r. Пусть a, b и c - стороны этого треугольника, а p - его полупериметр. Тогда площадь треугольника можно выразить через его стороны и полупериметр по формуле Герона:

S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c))

Поскольку треугольник описан около окружности радиуса r, то каждая его сторона равна длине хорды, а длина хорды связана с радиусом и углом, под которым она отсекает дугу окружности:

a = 2r sin(A/2
b = 2r sin(B/2
c = 2r * sin(C/2)

Где A, B и C - углы треугольника. Подставим выражения для сторон треугольника в формулу Герона:

S = sqrt(p (p - 2r sin(A/2)) (p - 2r sin(B/2)) (p - 2r sin(C/2))

S = sqrt(p (p - 2r sin(A/2)) (p - 2r sin(B/2)) (p - 2r sin(π - A/2 - B/2))
S = sqrt(p (p - 2r sin(A/2)) (p - 2r sin(B/2)) (p - 2r sin((A + B)/2)))

Так как треугольник описан около окружности радиуса r, то сумма его углов равна 180°:

A + B + C = π

(A + B)/2 = π/2 - C/2

Итак, S = sqrt(p (p - 2rsin(A/2)) (p - 2rsin(B/2)) (p - 2rsin(π/2 - C/2))
S = sqrt(p (p - 2rsin(A/2)) (p - 2rsin(B/2)) (p - 2rsin(π/2 - C/2))
S = sqrt(p (p - 2rsin(A/2)) (p - 2rsin(B/2)) * (p - 2rcos(C/2))

С учетом того, что p = (a + b + c)/2 = 3r и A + B + C = π, имеем:

S = sqrt(3r (3r - 2r sin(A/2)) (3r - 2r sin(B/2)) (3r - 2r cos(π - A/2 - B/2))
S = sqrt(3r (3r - 2r sin(A/2)) (3r - 2r sin(B/2)) (3r - 2r cos((A + B)/2)))

Учитывая тригонометрические равенства sin(π/2 - x) = cos(x) и cos(π/2 - x) = sin(x), получаем:

S = sqrt(3r (3r - 2r sin(A/2)) (3r - 2r sin(B/2)) (3r - 2r sin((A + B)/2))
S = sqrt(3r (3r - 2r sin(A/2)) (3r - 2r sin(B/2)) (3r - 2r cos(C/2))
S = sqrt(3r (3r - 2r sin(A/2)) (3r - 2r sin(B/2)) (3r - 2r cos(π - A/2 - B/2)))

Таким образом, мы получили, что площадь треугольника, описанного около окружности радиуса r, равна sqrt(3r(3r - 2rsin(A/2))(3r - 2rsin(B/2))(3r - 2rcos(C/2))).

Это же доказательство может быть обобщено на случай произвольного многоугольника. В результате получим, что для площади S любого многоугольника, описанного около окружности радиуса r, справедлива формула S = p * r, где r - полупериметр многоугольника.