Сделайте чертеж пж AM - биссектриса треугольника ABC. Через точку M проведена прямая, параллельная AC и пересекающая сторону AB в точке D. Докажите, что треугольник AMD - равнобедренный.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим биссектрису AM треугольника ABC.

Проводим сторону BMНаходим точку пересечения BM и AC, обозначим ее как OПроводим через точку O прямую, параллельную BC, пересекающую сторону AB в точке MПолучаем, что AM - биссектриса угла BAC, так как AM делит угол BAC пополам

Теперь докажем, что треугольник AMD равнобедренный.

Так как прямая, проходящая через точку D параллельна стороне AC, то угол DCA равен углу DAC, так как это две параллельные прямые, пересекаемые AC.Так как AM - биссектриса угла BAC, то угол BAM равен углу CAMТеперь рассмотрим треугольники ABM и ADC:
Угол ABM = угол ACD (по построению)
Угол BAM = угол CAM (AM - биссектриса)
Угол BAM = угол CAM = угол DCA (углы CDA и CAD равны)Из пункта 3 следует, что треугольники ABM и ADC подобныТак как угол B равен углу C (AB и AC равные стороны), то угол ABM равен углу ADCСледовательно, угол ADM равен углу ADN (AD и AM равные стороны)Таким образом, треугольник AMD равнобедренный, то есть AM = MD.

Таким образом, треугольник AMD равнобедренный.