Записать двойной интеграл f (x; y)dxdy в виде повторных интегралов двумя способами, если область D ограниченна указанными линиями: D: y=√(2-x²), y=x²

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для удобства, обозначим функцию f(x, y) как F(x, y)dxdy.

Первый способ:
D определяется как область, заключенная между линиями y = sqrt(2 - x^2) и y = x^2. При этом, y = x^2 ограничивает область снизу, а y = sqrt(2 - x^2) — сверху.
Так как обе функции обращаются в нуль при x = ±√2, то границы интегрирования для x: -√2 ≤ x ≤ √2.
Для каждого x значения y лежат в пределах между x^2 и sqrt(2 - x^2). Следовательно, для каждого x: x^2 ≤ y ≤ sqrt(2 - x^2).

Итак, повторный интеграл будет иметь вид:
∫[from -√2 to √2]∫[from x^2 to sqrt(2 - x^2)] F(x, y) dy dx.

Второй способ:
D также определяется как область между линиями y = sqrt(2 - x^2) и y = x^2, но теперь y = sqrt(2 - x^2) ограничивает область снизу, а y = x^2 — сверху.
Границы интегрирования для x остаются такими же: -√2 ≤ x ≤ √2.
Для каждого x: sqrt(2 - x^2) ≤ y ≤ x^2.

Следовательно, повторный интеграл имеет вид:
∫[from -√2 to √2]∫[from sqrt(2 - x^2) to x^2] F(x, y) dy dx.