В треугольнике АВС С = 135°, высоты АК = 4√2 см и ВН = 8 см. Найдите сторону АВ и площадь этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что угол C равен 135 градусов, значит угола A и B равны 180 - 135 = 45 градусов. Также известно, что высоты АК = 4√2 см и ВН = 8 см.

Так как прямоугольный треугольник АКС, где Х - середина АВ, то можно найти сторону АХ по теореме Пифагора:
АК^2 + ХК^2 = АХ^2
(4√2)^2 + (ХК)^2 = АХ^2
32 + (ХК)^2 = АХ^2

Так как прямоугольный треугольник ВХС, где Х - середина АВ, то можно найти сторону ВХ по теореме Пифагора:
ВН^2 + ХН^2 = ВХ^2
8^2 + (ХН)^2 = ВХ^2
64 + (ХН)^2 = ВХ^2

Так как треугольник АХЕ и ВХС подобны по двум катетам, то их гипотенузы также будут пропорциональны:
АХ/ВХ = АК/ВН
√(32 + (ХК)^2)/√(64 + (ХН)^2) = 4√2/8
(32 + (ХК)^2)/(64 + (ХН)^2) = 1/2
64 + (ХК)^2 = 128 + 2(ХН)^2

Подставим это в уравнение (32 + (ХК)^2) + 64 = 128 + 2(ХН)^2 и найдем ХК и ХН. Решив уравнения найдем ХК = 2√2 см и ХН = 4√2 см.

Теперь найдем сторону АВ:
АХ = 2√(32), так как АХ^2 = 32 + (ХК)^2 = 32 + 8 = 2√(32)
АВ = 2*АХ = 4√(32) см

Найдем площадь треугольника:
S = (1/2)АВВН = (1/2)4√(32)8 = 16√32 см^2

Итак, сторона треугольника АВ равна 4√(32) см, а площадь треугольника равна 16√32 см^2.