Геометрия олимпиадная задача
В выпуклом четырёхугольнике ABCD
на стороне CD отметили её середину M. Оказалось, что ∠AMB=90∘. Докажите, что AB⩽AD+BC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Построим высоту AM из точки A на сторону BC. Так как ∠AMB = 90°, то треугольник AMB прямоугольный.

Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

AB^2 + AM^2 = BM^2

Также заметим, что AM = MC (так как M - середина стороны CD), а также BM < BC (так как BC - диагональ выпуклого четырехугольника).

Теперь возьмем треугольник ACD. Применим неравенство треугольника:

AC < AD + CD

Так как CD = 2*MC, то можно переписать неравенство:

AC < AD + 2*MC

Теперь возведем все в квадрат:

AC^2 < (AD + 2*MC)^2

Сложив полученное неравенство с равенством AB^2 + AM^2 = BM^2, получаем:

AC^2 + AB^2 < (AD + 2*MC)^2 + BM^2

Так как AB^2 + AM^2 = BM^2, то можно переписать неравенство в виде:

AC^2 + AB^2 < (AD + 2*MC)^2 + AB^2 + AM^2

Теперь заметим, что по неравенству треугольника AB < AD + BC, то есть AB^2 < (AD + BC)^2. Подставляем это в неравенство:

AC^2 + (AD + BC)^2 < (AD + 2*MC)^2 + AB^2 + AM^2

AC^2 + (AD + BC)^2 < (AD + 2*MC)^2 + AB^2 + AM^2

Так как AM = MC, то AB^2 + AM^2 = AB^2 + MC^2 = BC^2. Подставляем это и дальше упрощаем:

AC^2 + (AD + BC)^2 < (AD + 2*MC)^2 + BC^2

После упрощения и перестановки слагаемых получим:

2ADBC < BC^2

BC^2 > AD*BC

BC > AD

Таким образом, доказано, что AB ≤ AD + BC.