Геометрия олимпиада задача Дан неравнобедренный треугольник ABC
. На его сторонах AB
и BC
отмечены точки K
и L
такие, что прямые KL
и AC
параллельны. Отрезки AL
и KC
пересекаются в точке S
. Известно, что AK=AS
и KL=LC
. Докажите, что AL=KB
.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия AK=AS следует, что треугольники AKS и ASK равнобедренные. Тогда угол KAS равен углу AKS.

Также из условия KL=LC следует, что треугольники KLC и LCK равнобедренные. Тогда угол KCL равен углу KLC.

Так как прямые KL и AC параллельны, то углы KAS и KCL также равны.

Теперь рассмотрим треугольник KAS. Углы KAS и KAS равны (по свойству равнобедренного треугольника). Угол KAS равен углу KCL, а угол ASK равен углу LCK. Таким образом, углы KAS и KCL равны, угол AKS равен углу LCK, а угол ASK равен углу KLC.

Из равенства углов следует, что треугольники KAS и LCK подобны. Из этого подобия следует, что отношение длин сторон AK/KC равно отношению длин сторон AS/LC. То есть AK/KC = AS/LC.

Так как AK=AS и KL=LC, получаем, что AK/KC = AS/LC = KL/LC. Следовательно, отношения длин сторон AK/KC = KL/LC, что равно AL/KB.

Итак, AL/KB = AK/KC = KL/LC = 1, откуда AL=KB.

Таким образом, длина отрезка AL равна длине отрезка KB.