Задача по геометрии В треугольнике ABC угол B вдвое больше угла C. На биссектрисе AL взята такая
точка K так, что BK + BA = AC. Точка M — середина отрезка KL. Докажите, что
∠BMK = 90◦
.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи, угол B = 2C.

Рассмотрим треугольники BAK и CLK. По условию BK + BA = AC, а также AC = CL + LK. Тогда получаем, что BK + BA = CL + LK, что равносильно BK + BA - CL = LK.

Так как AL - биссектриса треугольника ABC, то угол BAK = угол CAL. Тогда по угловой теореме получаем, что угол BAK = угол LCK.

Таким образом, треугольники BAK и CLA подобны по двум углам. Отсюда следует, что BK/AK = LC/AC = LK/CL.

Теперь вспомним, что L - середина отрезка CK. Отсюда AK = KL. Значит, BK/AK = LK/CL, т.е. BK/(KL) = LK/CL.

Тогда BKKL = LKCL. Заметим, что также BK + KL = Kx, где x - длина отрезка LC.

Таким образом, BKKL = Kx/(BK + KL)KL = CLCK = (CL + LK) CK = CK*AC, где CK = CL + LK.

Отсюда BKKL = CKAC. Что равносильно площади BKL * 2 = плошади КСА.

Теперь вернемся к нашему треугольнику BKM. Заметим, что KL = 2MK и BK = 2MK, так как BM - медиана треугольника BKA.

Тогда площадь BKM = 1/2 BM MK = 1/2 BM (1/2 KL) = 1/2 BM 2MK = MK BM.

Так как 2 площадь BKL = площадь КСА, и 2 площадь BKM = площадь КБМ, то BM MK = MK BK, откуда BM = BK.

Отсюда следует, что треугольник МKB равнобедренный, а значит, угол BMK = 90 градусов. задача решена.