Задача на векторы в окружности В окружности с центром О проведены перпендикулярные хорды AB и CL, пересекающиеся в точке М. Докажите, что вектор ОМ равен половине векторной суммы ОА + ОВ + ОС + ОД.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Поскольку AB и CL - перпендикулярные хорды, то они диаметры окружности. Таким образом, точки A, B, C и D делят окружность на четыре равные дуги.

Обозначим радиус окружности как R. Тогда векторы ОА, ОВ, ОС и ОD имеют следующий вид
ОА = А - О = Rcosα i + Rsinα j
ОВ = В - О = -Rcosβ i + Rsinβ j
ОС = С - О = -Rcosα i - Rsinα j
ОD = D - О = Rcosβ i - Rsinβ j.

Теперь найдем векторную сумму ОА + ОВ + ОС + ОD
ОА + ОВ + ОС + ОD = (Rcosα - Rcosβ - Rcosα + Rcosβ) i + (Rsinα + Rsinβ - Rsinα - Rsinβ)
= 0.

Получается, что векторная сумма ОА + ОВ + ОС + ОD равна нулевому вектору.

Таким образом, вектор ОМ равен половине векторной суммы ОА + ОВ + ОС + ОD
ОМ = 1/2 (ОА + ОВ + ОС + ОD) = 1/2 0 = 0.

Следовательно, доказано, что вектор ОМ равен половине векторной суммы ОА + ОВ + ОС + ОD.