Вариант по геометрии Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна площади поверхности шара. Найдите отношение объемов параллелепипеда и шара, если ребра параллелепипеда, исходящие из одной вершины относятся как 1 : 2 : 4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длины ребер прямоугольного параллелепипеда, исходящие из одной вершины, равны a, 2a и 4a, а радиус шара равен R.

Площадь поверхности параллелепипеда равна 2(ab + ac + bc), где a, b, c - длины ребер. Площадь поверхности шара равна 4πR^2.

Так как данные площади равны между собой, получаем уравнение:
2(a2a + a4a + 2a*4a) = 4πR^2
10a^2 = 4πR^2
R = a√(10/4π)

Объем прямоугольного параллепипеда равен abc, а объем шара равен 4/3πR^3.

Так как a:b:c = 1:2:4, то a = k, b = 2k, c = 4k, где k - коэффициент пропорциональности.

Тогда объем параллелепипеда будет равен 8k^3, а объем шара:
V = 4/3 π (k√(10/4π))^3 = 4/3 π k^3 10√(10/4π) = 40√(10π^2) k^3

Итак, отношение объемов параллелепипеда и шара:
8k^3 : 40√(10π^2) * k^3 = 1 : 5√(10π^2).