Задача по геометрии В треугольнике АВС точка М - центр вписанной окружности, и биссектриса угла ABC пересекает описанную окружность в точке К.
Найдите длину отрезка М К, если cos ABC = 7/18, AC = 70.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим треугольник ABC. Пусть D - точка пересечения биссектрисы угла ABC со стороной AC.

Из условия задачи известно, что AC = 70. Пусть AD = x, тогда DC = 70 - x.

Так как точка М - центр вписанной окружности, то угол CMD = 90 градусов.

Также из условия известно, что cos(ABC) = 7/18. Тогда можем записать, что cos(ABC) = cos(CMD):

cos(ABC) = cos(CMD)

7/18 = x/CM

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Заметим, что угол ABC = 2*CMD (так как точка К - точка пересечения биссектрисы и окружности). Тогда можем записать, что:

cos(ABC) = cos(2*CMD)

7/18 = 1 - 2*(x/CM)^2

18 = 18 - 36*(x^2)/(CM^2)

36*(x^2)/(CM^2) = 0

x^2 = 0

x = 0

Значит, точка D совпадает с точкой A, и отрезок МК равен отрезку MC.

Теперь рассмотрим треугольник MCK. Так как MC - радиус описанной окружности, то МК = MC.

Поэтому МК = 70.