Кто гений математики? 1) Трактор n-ую часть всего пути ехал со скоростью a км/ч, затем n-ую часть всего времени ехал со скоростью b км/ч. Найдите среднюю скорость трактора на всем пути. (Выразите через данные переменные)
2) В прямоугольнике проведена диагональ, так что один из углов равен 75 градусам и диагональ равна x. Найдите стороны этого прямоугольника. (Выразите через x)
3) Даны натуральные числа a, b и простое число p > 2. Известно, что a + b делится на p и a2 + b2 делится на p. Докажите, что a2 + b2 делится на p2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Средняя скорость трактора на всем пути равна общему расстоянию, поделенному на общее время. Общее расстояние равно n(a + b), общее время равно n(1/a + 1/b). Тогда средняя скорость равна (n(a + b)) / (n(1/a + 1/b)), что можно упростить до (a*b)/(1/a + 1/b).

2) Пусть катеты прямоугольного треугольника, образованного диагональю, равны a и b. Тогда по теореме косинусов имеем:
a^2 + b^2 = x^2,
a^2 + b^2 - 2ab*cos(75) = x^2,
a^2 + b^2 - sqrt(3)ab = x^2.

3) Рассмотрим сумму квадратов a и b: a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab. Поскольку a + b делится на p, a^2 + b^2 также делится на p. Так как a^2 + b^2 также делится на p и p является простым числом, значит a^2 + b^2 должно делиться на p^2.