Кто умный в математике? 1) Трактор n-ую часть всего пути ехал со скоростью a км/ч, затем n-ую часть всего времени ехал со скоростью b км/ч. Найдите среднюю скорость трактора на всем пути. (Выразите через данные переменные)
2) В прямоугольнике проведена диагональ, так что один из углов равен 75 градусам и диагональ равна x. Найдите стороны этого прямоугольника. (Выразите через x)
3) Даны натуральные числа a, b и простое число p > 2. Известно, что a + b делится на p и a2 + b2 делится на p. Докажите, что a2 + b2 делится на p2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Средняя скорость можно найти, разделив общий путь на общее время:
Vср = (na + nb) / (na/n + nb/n) = (a + b) / 2

2) Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Тогда из уравнения косинуса для угла 75 градусов:
a^2 + b^2 - 2abcos(75) = x^2
Используя тригонометрический тождество и свойства косинуса 75 градусов, получаем:
a^2 + b^2 - 2ab(cos(60)cos(15) - sin(60)sin(15)) = x^2
a^2 + b^2 - 2ab(0.5sqrt(3)sqrt(2)/2 - 0.5sqrt(2)*sqrt(2)/2) = x^2
a^2 + b^2 - ab = x^2

3) Из условия имеем:
(a + b) mod p = 0
(a^2 + b^2) mod p = 0
Тогда:
(a^2 + b^2) mod p = ((a + b)^2 - 2ab) mod p = (0 - 2ab) mod p = 0
Таким образом, a^2 + b^2 делится на p и следовательно a^2 + b^2 делится на p^2.