Задача по геометрии Через середину гипотенузы АС прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая катет ВС в точке D, а продолжение катета АВ за точку А — в точке Е. Найдите площадь треугольника АВС, если СD = 1, АE = 2, cos CAB = 3/5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть АВ = a, ВС = b, СD = 1, АЕ = 2.

Так как CD = 1, то ДС является почти серединой треугольника ACB, а значит, АD = DC = 1/2.

Так как AE = 2, а AD = 1/2, то DE = 2 - 1/2 = 3/2.

Так как Продолжение АВ за точку А – точка Е, то АЕ = ВС + 2 * AD + DE, т.е. 2 = ВС + AD + DE.

Вспомним, что ЕD = DE = 3/2, тогда VE = ВС - 3/2, и из равенства 2 = ВС + AD + DE следует, что ВС - 3/2 + 1/2 + 3/2 = 2, т.е. ВС = 2.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = 1/2 a b.

Так как косинус угла CAB = 3/5, то это равносильно тому, что a/c = 3/5, откуда a = 3c/5.

Так как ВС = 2, то площадь треугольника ABC равна S = 1/2 a b = 1/2 (3/5 c) * 2 = 3c/5.

Ответ: S = 3c/5.