Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов одна биссектриса в два раза короче другой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90 градусов, угол A равен 30 градусов, а угол C равен 60 градусов. Проведем биссектрису из угла A и обозначим точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой как D.

Так как AD - биссектриса треугольника ABC, то угол DAB равен углу CAD. Но так как угол A равен 30 градусов, то угол DAB также равен 30 градусов.

Также, так как угол B равен 90 градусов, то треугольник ABD прямоугольный. Поэтому угол ADB равен 60 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Теперь посмотрим на треугольник BCD. Угол DBC равен половине угла 60 градусов, то есть 30 градусов, так как BD - биссектриса угла B.

Таким образом, мы видим, что углы BDC и BCD равны 30 градусов, а значит треугольник BDC также равнобедренный. Значит, BD = DC.

Теперь мы знаем, что треугольник ABD прямоугольный, а BD = DC. Значит, по теореме Пифагора, AD = BD√2.

Таким образом, одна биссектриса треугольника ABC в два раза длиннее другой.