Трапеция АВСD вписана в окружность, центр О которой лежит на большем основании АD. Найдите радиус описанной окружности, если СD=20см, ВD=21см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус описанной окружности равен R.

Так как центр окружности лежит на большем основании AD, то он является серединой отрезка AD. То есть OD = R.

Также заметим, что треугольник ACD является равнобедренным, так как углы при основаниях равны (так как трапеция вписана в окружность). Значит, AC = AD = 2R.

Рассмотрим треугольник BCD. По теореме косинусов:

CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2BCBD*cos(∠BCD)

Подставляем известные значения и учитываем, что ∠BCD = ∠AOD (как опирается на одну и ту же дугу), а косинус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

20^2 = R^2 + 21^2 - 2R21cos(∠AOD)
400 = R^2 + 441 - 42Rcos(∠AOD)

Теперь рассмотрим треугольник AOD:

cos(∠AOD) = OD / AD = R / 2R = 1/2

Подставляем это в предыдущее уравнение:

400 = R^2 + 441 - 42R*(1/2)
400 = R^2 + 441 - 21R
R^2 - 21R - 41 = 0

Решая квадратное уравнение, находим два корня: R1 ≈ 23.537 и R2 ≈ -1.537.

Так как радиус не может быть отрицательным, то радиус описанной окружности равен приблизительно 23.537 см.