Y'=x^2-y^2 y(1)=2 найти приближенное частное решение.Найти 5 отличных от нуля членов разложения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано уравнение:

Y'=x^2-y^2, y(1)=2.

Для нахождения приближенного частного решения данного дифференциального уравнения можно воспользоваться методом разложения в ряд Тейлора.

Пусть y(x)=f(x)+g(x)+h(x)+..., где f(x) - приближенное частное решение, а g(x), h(x), ... - добавочные члены разложения.

Тогда подставим это разложение в уравнение и найдем значения коэффициентов.

Дифференцируем y(x) по x: y'=f'(x)+g'(x)+h'(x)+...

Подставляем это в уравнение:

f'+g'+h'+...=x^2-(f+g+h+...)^2

Теперь подставим начальное условие y(1)=2:

f(1)+g(1)+h(1)+...=2

Найдем первые пять членов разложения:

Функция f(x)=x+...

Функция g(x)=const

Функция h(x)=-g^2x^3/3+...

Функция i(x)=-g^3x^4/4-1/2*g^2x^2+...

Функция k(x)=-i^2x^5/5-...

Таким образом, первые пять отличных от нуля членов разложения будут: f(x)=x+..., g(x)=const, h(x)=-g^2x^3/3+..., i(x)=-g^3x^4/4-1/2*g^2x^2+..., k(x)=-i^2x^5/5-...