Простая задача по математике В некотором опыте возможно три элементарных события а, 6 и с. Вероятность того, что наступит либо событие а, либо событие 6, равна 0,39. Вероятность того, что наступит либо событие а, либо событие с, равна 0,72. Найди вероятность каждого из элементарных событий.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим вероятности событий а, 6 и с как P(A), P(B) и P(C) соответственно.

Из условия задачи мы имеем:
P(A) + P(B) = 0,39
P(A) + P(C) = 0,72

Так как P(A) + P(B) = P(A∪B) (вероятность объединения событий), то P(A∪B) = 0,39.
Аналогично, P(A∪C) = P(A) + P(C) - P(A∩C) = 0,72, где P(A∩C) - вероятность наступления события A и C одновременно.

По формуле включений-исключений имеем:
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Так как у нас всего 3 события, то P(A∩B) = P(B∩C) = P(A∩C) = 0, также P(A∩B∩C) = 0.

Тогда у нас остается уравнение:
P(A) + P(B) + P(C) = P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C) = 0,72

Отсюда следует, что P(A) + P(B) + P(C) = 0,72, что равно вероятности появления события A, B, C в любой комбинации.

Таким образом, вероятности каждого из элементарных событий по отдельности равны:
P(A) = 0,72 - P(B) - P(C)
P(B) = 0,72 - P(A) - P(C)
P(C) = 0,72 - P(A) - P(B)

Теперь можем решать систему уравнений, которую мы получили в начале:
P(A) + P(B) = 0,39
P(A) + P(C) = 0,72

Подставляем полученные значения P(B) и P(C) и решаем систему:
P(A) + (0,72 - P(A) - P(С)) = 0,39
P(A) = 0,33

P(A) + P(С) = 0,72
0,33 + P(С) = 0,72
P(C) = 0,39

Из полученных значений P(A) = 0,33, P(B) = 0 и P(C) = 0,39 можно сделать вывод, что вероятности каждого из элементарных событий равны соответственно 0,33, 0 и 0,39.