Решить дифференциальное уравнение Записать в общем виде частное решение для уравнения y”-12y’+35y=(2x+1)e^-x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем общее решение однородного уравнения y”-12y’+35y=0. Характеристическое уравнение будет иметь вид:

r^2 - 12r + 35 = 0

(r - 5)(r - 7) = 0

r1 = 5, r2 = 7

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C1e^(5x) + C2e^(7x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = (Ax + B)e^(-x), где A и B - некоторые константы.

Подставляя это выражение в уравнение, получаем:

y”_p - 12y’_p + 35y_p = (2x + 1)e^(-x)

(2A - 2B - Ax - B)e^(-x) + 12(Ax + B - A - B)e^(-x) + 35(Ax + B)e^(-x) = (2x + 1)e^(-x)

(2A - 2B - A - B)x e^(-x) = 2x e^(-x)

Из этого уравнения получаем систему:

-3A - 3B = 2
A + B = 0

Решая эту систему, находим A = -2/5, B = 2/5

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y_p(x) = (-2/5x + 2/5)e^(-x)

И окончательное решение уравнения будет:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1e^(5x) + C2e^(7x) - (2/5x - 2/5)e^(-x)