Найти ядро, образ и ранг линейного отображения A: R5 → R3, заданного матрицей
1 -1 2 4 -2
3 9 -14 2 1
3 6 -9 1 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения ядра линейного отображения нужно решить уравнение A*x = 0, где A - матрица линейного отображения, x - неизвестный вектор.

Найдем ядро:
Для этого составим систему уравнений на основе данной матрицы:
x1 - x2 + 2x3 + 4x4 - 2x5 = 0
3x1 + 9x2 - 14x3 + 2x4 + x5 = 0
3x1 + 6x2 - 9x3 + x4 + x5 = 0

Приведем систему к ступенчатому виду:
1 -1 2 4 -2
3 9 -14 2 1
3 6 -9 1 1

2 5 -8 -10 -5
3 9 -14 2 1
3 6 -9 1 1

2 5 -8 -10 -5
1 -3 6 8 4
0 1 -1.5 1 1

2 5 -8 -10 -5
0 1 3 6 7
0 0 -1.5 1 1

1 -5 7 4 3/2
0 1 3 6 7
0 0 1 -2/3 -2/3

1 -5 7 4 3/2
0 1 0 7/3 19/3
0 0 1 -2/3 -2/3

1 0 7 11/3 25/2
0 1 0 7/3 19/3
0 0 1 -2/3 -2/3

Теперь получим общее решение системы уравнений:
x1 = -7c - 11/3d - 25/2e
x2 = -7/3d - 19/3e
x3 = 2/3e
x4 = d
x5 = e

Таким образом, ядро линейного отображения A представляется в виде линейной оболочки вектора (-7, -7/3, 2/3, 1, 0) и вектора (-11/3, -19/3, 0, 0, 1).
Размерность ядра k = 2.

Найдем образ линейного отображения:
Для этого необходимо найти ранг матрицы A. Он равен максимальному числу линейно независимых столбцов или строк.

Проведем преобразование данной матрицы к ступенчатому виду:
1 -1 2 4 -2
3 9 -14 2 1
3 6 -9 1 1

1 -1 2 4 -2
0 12 -20 -10 7
0 9 -15 -11 7

1 -1 2 4 -2
0 1 -1.67 -0.83 0.58
0 0 0.5 -1.5 1

1 -1 2 4 -2
0 1 -1.67 -0.83 0.58
0 0 1 -3 2

1 -1 2 4 -2
0 1 0 2 -1
0 0 1 -3 2

1 0 2 2 -2
0 1 0 2 -1
0 0 1 -3 2

Мы видим, что ранг матрицы равен 3. Это означает, что образ линейного отображения A является трехмерным подпространством в R3.

Таким образом:

Ядро линейного отображения k = 2, базис векторов ядра: (-7, -7/3, 2/3, 1, 0) и (-11/3, -19/3, 0, 0, 1);Образ линейного отображения имеет размерность 3, то есть его ранг равен 3.