Для нахождения ядра линейного отображения нужно решить уравнение A*x = 0, где A - матрица линейного отображения, x - неизвестный вектор.
Найдем ядро Для этого составим систему уравнений на основе данной матрицы x1 - x2 + 2x3 + 4x4 - 2x5 = 3x1 + 9x2 - 14x3 + 2x4 + x5 = 3x1 + 6x2 - 9x3 + x4 + x5 = 0
Приведем систему к ступенчатому виду 1 -1 2 4 - 3 9 -14 2 3 6 -9 1 1
2 5 -8 -10 - 3 9 -14 2 3 6 -9 1 1
2 5 -8 -10 - 1 -3 6 8 0 1 -1.5 1 1
2 5 -8 -10 - 0 1 3 6 0 0 -1.5 1 1
1 -5 7 4 3/ 0 1 3 6 0 0 1 -2/3 -2/3
1 -5 7 4 3/ 0 1 0 7/3 19/ 0 0 1 -2/3 -2/3
1 0 7 11/3 25/ 0 1 0 7/3 19/ 0 0 1 -2/3 -2/3
Теперь получим общее решение системы уравнений x1 = -7c - 11/3d - 25/2 x2 = -7/3d - 19/3 x3 = 2/3 x4 = x5 = e
Таким образом, ядро линейного отображения A представляется в виде линейной оболочки вектора (-7, -7/3, 2/3, 1, 0) и вектора (-11/3, -19/3, 0, 0, 1) Размерность ядра k = 2.
Найдем образ линейного отображения Для этого необходимо найти ранг матрицы A. Он равен максимальному числу линейно независимых столбцов или строк.
Проведем преобразование данной матрицы к ступенчатому виду 1 -1 2 4 - 3 9 -14 2 3 6 -9 1 1
1 -1 2 4 - 0 12 -20 -10 0 9 -15 -11 7
1 -1 2 4 - 0 1 -1.67 -0.83 0.5 0 0 0.5 -1.5 1
1 -1 2 4 - 0 1 -1.67 -0.83 0.5 0 0 1 -3 2
1 -1 2 4 - 0 1 0 2 - 0 0 1 -3 2
1 0 2 2 - 0 1 0 2 - 0 0 1 -3 2
Мы видим, что ранг матрицы равен 3. Это означает, что образ линейного отображения A является трехмерным подпространством в R3.
Таким образом:
Ядро линейного отображения k = 2, базис векторов ядра: (-7, -7/3, 2/3, 1, 0) и (-11/3, -19/3, 0, 0, 1);Образ линейного отображения имеет размерность 3, то есть его ранг равен 3.
Для нахождения ядра линейного отображения нужно решить уравнение A*x = 0, где A - матрица линейного отображения, x - неизвестный вектор.
Найдем ядроДля этого составим систему уравнений на основе данной матрицы
x1 - x2 + 2x3 + 4x4 - 2x5 =
3x1 + 9x2 - 14x3 + 2x4 + x5 =
3x1 + 6x2 - 9x3 + x4 + x5 = 0
Приведем систему к ступенчатому виду
1 -1 2 4 -
3 9 -14 2
3 6 -9 1 1
2 5 -8 -10 -
3 9 -14 2
3 6 -9 1 1
2 5 -8 -10 -
1 -3 6 8
0 1 -1.5 1 1
2 5 -8 -10 -
0 1 3 6
0 0 -1.5 1 1
1 -5 7 4 3/
0 1 3 6
0 0 1 -2/3 -2/3
1 -5 7 4 3/
0 1 0 7/3 19/
0 0 1 -2/3 -2/3
1 0 7 11/3 25/
0 1 0 7/3 19/
0 0 1 -2/3 -2/3
Теперь получим общее решение системы уравнений
x1 = -7c - 11/3d - 25/2
x2 = -7/3d - 19/3
x3 = 2/3
x4 =
x5 = e
Таким образом, ядро линейного отображения A представляется в виде линейной оболочки вектора (-7, -7/3, 2/3, 1, 0) и вектора (-11/3, -19/3, 0, 0, 1)
Найдем образ линейного отображенияРазмерность ядра k = 2.
Для этого необходимо найти ранг матрицы A. Он равен максимальному числу линейно независимых столбцов или строк.
Проведем преобразование данной матрицы к ступенчатому виду
1 -1 2 4 -
3 9 -14 2
3 6 -9 1 1
1 -1 2 4 -
0 12 -20 -10
0 9 -15 -11 7
1 -1 2 4 -
0 1 -1.67 -0.83 0.5
0 0 0.5 -1.5 1
1 -1 2 4 -
0 1 -1.67 -0.83 0.5
0 0 1 -3 2
1 -1 2 4 -
0 1 0 2 -
0 0 1 -3 2
1 0 2 2 -
0 1 0 2 -
0 0 1 -3 2
Мы видим, что ранг матрицы равен 3. Это означает, что образ линейного отображения A является трехмерным подпространством в R3.
Таким образом:
Ядро линейного отображения k = 2, базис векторов ядра: (-7, -7/3, 2/3, 1, 0) и (-11/3, -19/3, 0, 0, 1);Образ линейного отображения имеет размерность 3, то есть его ранг равен 3.