Задача из олимпиады по математике Найдите все пары натуральных чисел a и b, для которых из
четырех утверждений

a^2 + 4a + 3 делится на b;
a^2 + ab − 6b^2 − 2a − 16b − 8 = 0;
a + 2b + 1 делится на 4;
a + 6b + 1 — простое число
три истинны, а одно ложно.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Подставим a^2 + 4a + 3 вместо a^2 + ab − 6b^2 − 2a − 16b − 8 во второе утверждение:

a^2 + ab − 6b^2 − 2a − 16b − 8 = 0
a^2 + 4a + 3 - 6b^2 - 2a - 16b - 8 = 0
2a - 6b - 5 = 0
2a = 6b + 5

Подставим a + 2b + 1 вместо a + 6b + 1 в четвертое утверждение:

a + 6b + 1 — простое число
a + 2b + 1 — простое число

Таким образом, у нас теперь 3 уравнения:
1) a^2 + 4a + 3 делится на b;
2) 2a = 6b + 5;
3) a + 2b + 1 делится на 4.

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1: a^2 + 4a + 3 делится на b;
Так как a и b натуральные числа, то a^2 + 4a + 3 делится на b только в случаях, когда b равно 1, 2 или 3.

Случай 2: 2a = 6b + 5;
Обозначим a = 3k + 2, тогда b = k. Подставим это в первое и третье уравнения:

(3k + 2)^2 + 4(3k + 2) + 3 делится на k
9k^2 + 12k + 4 + 12k + 8 + 3 делится на k
9k^2 + 24k + 15 делится на k

(3k + 2) + 2k + 1 делится на 4
5k + 3 делится на 4

Случай 3: a + 2b + 1 делится на 4;
Обозначим a = 4m - 2, тогда b = 2m + 1. Подставим это во второе и третье уравнения:

(4m - 2)^2 + (4m - 2)(2m + 1) - 6(2m + 1)^2 - 2(4m - 2) - 16(2m + 1) - 8 = 0
16m^2 - 16m + 4 + 8m^2 - 4m - 2 - 12(4m^2 + 4m + 1) - 8m + 4 - 32m - 16 = 0

(4m - 2) + 2(2m + 1) + 1 делится на 4
8m - 4 + 4m + 2 + 1 делится на 4

Посмотрим, какие значения для m подходят под все условия:

Итак, единственная пара натуральных чисел, удовлетворяющая всем условиям, это a = 2, b = 1.