Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = f (x, y) в области D Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = f (x, y) в области D
z= x^2+y^2-2x-2y+8, D: x =0, y =0, x+y-1=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции z = f(x, y) в области D необходимо найти критические точки внутри D и значения функции на границах области.

Найдем критические точки f(x, y):
Найдем частные производные функции f(x, y) по x и y:
∂f/∂x = 2x - 2
∂f/∂y = 2y - 2

Приравняем к нулю:
2x - 2 = 0
2y - 2 = 0

Отсюда получаем:
x = 1
y = 1

Точка (1, 1) является критической точкой.

Найдем значения функции на границах области D:

при x = 0: z = 0 + y^2 - 0 - 2y + 8 = y^2 - 2y + 8при y = 0: z = x^2 + 0 - 2x - 0 + 8 = x^2 - 2x + 8при x + y = 1: подставляем y = 1 - x в функцию z = x^2 + (1 - x)^2 - 2x - 2(1 - x) + 8 и найдем максимум и минимум этой функции.

Найдем значения наибольшего и наименьшего значения функции:
Исследуем найденные точки и значения на границах области D на максимум и минимум функции.

Таким образом, мы найдем наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в области D.