Кто умен в математике? Найдите все пары (x, y) целых чисел такие, что: 1 + 2^x + 2^(2x + 1) = y^2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте решим данное уравнение:

1 + 2^x + 2^(2x + 1) = y^2

Раскроем выражение 2^(2x + 1) = 2^x 2^(x+1) = 2^x 2 2^x = 4 2^x

Подставим это обратно в уравнение:

1 + 2^x + 4 2^x = y^2
1 + 5 2^x = y^2

Заметим, что y^2 > 1, значит y > 1. Разложим число 5 на множители, чтобы понять, какое число у нас получится если выразим через степень двойки:

5 = 1 5 = 5
5 = 2 2 + 1

Таким образом, мы имеем три случая:

1 + 5 2^0 = 6 = 2^2 => 2^0 = 1
1 + 5 2^1 = 11 - не является полным квадратом
1 + 5 2^2 = 21 - не является полным квадратом
1 + 5 2^3 = 41 - не является полным квадратом

Таким образом, у нас есть только одно решение: x = 0, y = 2. Проверим:

1 + 2^0 + 4 * 2^0 = 6 = 2^2

Ответ: (0, 2).