Найдите остаток от деления числа 1!+2!+3!+...+500! на 28

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения остатка от деления суммы факториалов чисел от 1 до 500 на 28 можно воспользоваться методом упрощения.

Сначала найдем остаток от деления каждого факториала на 28. Так как 28 = 4 * 7, то мы можем разбить факториал каждого числа на множители 4 и 7:

1! = 1 (mod 28)
2! = 2 (mod 28)
3! = 6 (mod 28)
4! = 24 (mod 28)
5! = 4 24 = 96 = 12 (mod 28)
6! = 6 12 = 72 = 16 (mod 28)
7! = 7 * 16 = 112 = 4 (mod 28)

Таким образом, можем заметить, что факториал числа k при k > 6 дает остаток 4 от деления на 28. Поэтому сумма 1!+2!+3!+...+500! будет равна 1 + 2 + 6 + 24 + 12 + 16 + 4 * 495 (остаток от всех остальных факториалов) mod 28.

Рассчитаем эту сумму:

1 + 2 + 6 + 24 + 12 + 16 = 61

4 495 mod 28 = 4 (500 - 5) mod 28 = 4 * 20 mod 28 = 80 mod 28 = 24

Итак, сумма всех факториалов чисел от 1 до 500 дает остаток 85 при делении на 28.