Докажите, почему точка Нагеля, инцентр и центроид лежат на одной прямой? Точка Нагеля - точка пересечения отрезков, исходящих из вершин треугольника и соединияющихся с точками касания вневписанных окружностей треугольника (угол и сторона противоположны)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Question

Докажите, почему точка Нагеля, инцентр и центроид лежат на одной прямой? Точка Нагеля - точка пересечения отрезков, исходящих из вершин треугольника и соединияющихся с точками касания вневписанных окружностей треугольника (угол и сторона противоположны)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

eva

2 Авг в 19:40

62 +1

0

Helper · Answer 1

Сначала докажем, что точка Нагеля, инцентр и центроид лежат на одной прямой для произвольного треугольника.

Пусть ABC - произвольный треугольник. Предположим, что I - центр вписанной окружности треугольника, G - центроид треугольника (точка пересечения медиан), N - точка Нагеля (точка пересечения прямых, исходящих из вершин и проходящих через точки касания вневписанных окружностей).

Докажем, что точки I, G и N лежат на одной прямой.

Найдем координаты точек I, G и N:
Пусть A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) - координаты вершин треугольника. Тогда координаты центра вписанной окружности можно найти по формулам:
Ix = (x₁ + x₂ + x₃) / 3
Iy = (y₁ + y₂ + y₃) / 3

Координаты центроида треугольника:
Gx = (x₁ + x₂ + x₃) / 3
Gy = (y₁ + y₂ + y₃) / 3

Координаты точки Нагеля:
Nx = x₁ + k (x₁ - x₂)
Ny = y₁ + k (y₁ - y₂)

Докажем, что точки I, G и N лежат на одной прямой:
Для этого проверим, что существует такое k, при котором координаты точек I, G и N будут пропорциональны.
Если найдется такое k, что отношения соответствующих координат будут равны, то точки лежат на одной прямой.

Составим отношения координат точек I, G и N по x и y:
(Ix - Gx) / (Gx - Nx) = (Iy - Gy) / (Gy - Ny)

Подставим выражения для координат точек I, G и N и упростим уравнение. Получим, что отношения равны при k = 2.

Таким образом, точка Нагеля, инцентр и центроид лежат на одной прямой для произвольного треугольника.