Найдите площадь сечения этой призмы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA,B,C,D, сторона основания равна 11, а боковое ребро АА1 - 7. Точка К принадлежит ребру В,С, и делит его в отношении 8:3, считая от вершины В. а) Докажите, что точки А и С равноудалены от плоскости, проходящей через точки В, Д и К. 6) Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки В. Д и К.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть точки В, Д и К лежат в одной плоскости. Тогда точка К делит отрезок ВС в отношении 8:3. Поскольку отрезок ВС равен 11, то отрезок ВК равен 8, а отрезок КС равен 3. Таким образом, отрезок КД равен 3+7=10.

Рассмотрим треугольник ВКД. Поскольку ВК=8, КД=10, а угол ВКД прямой, то по теореме Пифагора получаем:

ВД^2 = ВК^2 + КД^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164.

С другой стороны, поскольку ВА=11, то сечение призмы, проходящее через точки В, Д и К, параллельно стороне основания АВСD, является прямоугольником со сторонами ВД и АС. Таким образом, все углы в этом прямоугольнике прямые, а значит, ВД=СА.

Таким образом, точки А и С равноудалены от плоскости, проходящей через точки В, Д и К.

б) Пусть H - точка пересечения сечения призмы и плоскости, проходящей через точки В, Д и К. Тогда ВН и ДН - высоты треугольника ВДК, а значит, прямоугольник ВНДК является его проекцией. Из пункта а) мы знаем, что ВН = ДК = 8, а ДН = ВК = 10.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, то есть S = ВН ДН = 8 10 = 80.

Итак, площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки В, Д и К, равна 80.