Как решить задачу? В прямоугольном треугольнике АВС точка K – середина гипотенузы АВ, а точка М делит катет АС в отношении 2 : 1 (считая от вершины А). Найдите острые углы треугольника АВС, если отрезок MK перпендикулярен АВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи обозначим длины сторон треугольника следующим образом
Пусть AB = c; BC = a; AC = b.

Так как точка K - середина гипотенузы AB, то AK = KB = c/2
Также, так как точка M делит катет AC в отношении 2:1, то AM = 2x, MC = x.

Заметим, что треугольник AMK подобен треугольнику ABC, так как у них совпадают углы при вершине A (прямой угол) и угол AKM равен углу A
Из подобия треугольников AMK и ABC следует, что соответствующие стороны пропорциональны, то есть AM/AK = AB/AC
Подставив известные значения, получим:

2x / c/2 = c / b
4x = bc / 2
x = bc / 8.

Так как отрезок MK перпендикулярен AB, то треугольник AMK - прямоугольный, а значит, по теореме Пифагора, справедливо следующее равенство
(AK)^2 + (AM)^2 = (MK)^2
(c/2)^2 + (bc/4)^2 = (bc/8)^2
c^2 / 4 + b^2c^2 / 16 = b^2c^2 / 64
64c^2 + 16b^2c^2 = 4b^2c^2
64 + 16b^2 = 4b^2
16b^2 = 60
b^2 = 15.

Таким образом, b = √15. Теперь найдем углы треугольника ABC, воспользовавшись формулами для нахождения углов прямоугольных треегольников
sin(A) = BC / AC = a / √15
cos(A) = AB / AC = c / √15
тан(A) = a / c

Таким образом, получаем, что острый угол A равен arctan(a/c), а острый угол B = 90 - A = 90 - arctan(a/c)
Таким образом, находим два острых угла треугольника ABC.