Даны вершины пирамиды ABCD. Средствами векторной алгебры вычислить длину высоты, опущенной из вершины A на плоскость BCD. A( 3; 2; 7), B(1; 3; 2), C(-2; 1; 2),D(4; 0; 0)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения длины высоты, опущенной из вершины A на плоскость BCD, нужно найти нормальный вектор к плоскости BCD, затем выразить уравнение этой плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0 и подставить координаты вершины A в это уравнение.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости BCD:

Найдем нормальный вектор к плоскости BCD, как векторное произведение BC и BD
n = BC x BD = i (-3 (-2) - (-2) (-3)) - j (3 (-2) - (-3) (-3)) + k (3 (-3) - (-3) * (-3)) = (0; 9; 9)

Теперь найдем уравнение плоскости BCD
Подставляем координаты вершины B(1; 3; 2) и нормальный вектор (0; 9; 9)
0 (x - 1) + 9 (y - 3) + 9 * (z - 2) =
9y + 9z - 27 - 18 =
9y + 9z - 45 = 0

Подставляем координаты вершины A(3; 2; 7) в уравнение плоскости
9 2 + 9 7 - 45 = 18 + 63 - 45 = 36

Находим расстояние от вершины A до плоскости BCD через уравнение плоскости
d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = |9 3 + 9 2 - 45| / sqrt(9^2 + 9^2) = 18 / 12.7279 ≈ 1.41

Таким образом, длина высоты, опущенной из вершины A на плоскость BCD, составляет примерно 1.41.

Для начала найдем вектор, который задает плоскость BCD. Для этого вычислим два вектора, лежащих в этой плоскости:

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить вектор, перпендикулярный плоскости BCD
n = AB x AC = i det | j det | k det
-2 1 -
-5 -1 -
Т.е. n = i (-5 - 5) - j (-2 -5 + 1 -5) + k (-2 -1 - 5 -5) = i 0 + j (-10 + 5) + k * (2 + 25) = 5j + 27k

Теперь найдем координаты точки (\overrightarrow{OH}), отсекаемой от точки A перпендикуляром к плоскости BCD

H = A + \frac{AB \cdot AC}{AC \cdot AC} \cdot AC = A + \frac{n \cdot AB}{n \cdot n} \cdot n = 3i + 2j + 7k + \frac{5 \cdot (-2 + 1)}{27} i + \frac{5 \cdot (-1)}{27} j + \frac{27 \cdot (-5)}{27} k = 3i + 2j + 7k - \frac{5}{27} i - \frac{5}{27} k = \frac{76}{27} i + 2j + \frac{182}{27}
]

Теперь найдем вектор (\overrightarrow{HA})

\overrightarrow{HA} = A - H = 3i + 2j + 7k - \frac{76}{27} i - 2j - \frac{182}{27} k = (\frac{81 - 76}{27}; 2 - 2; 7 - \frac{189}{27}) = (\frac{5}{27}; 0; \frac{189}{27} ) = (\frac{5}{27}; 0; 7
]

Теперь найдем длину вектора (\overrightarrow{HA})
|\overrightarrow{HA}| = \sqrt{(\frac{5}{27})^2 + 0 + 7^2} = \sqrt{\frac{25}{729} + 49} = \sqrt{\frac{25 + 32121}{729}} = \sqrt{\frac{32146}{729}} ≈ \sqrt{44} = 2\sqrt{11}.

Итак, длина высоты, опущенной из вершины A на плоскость BCD, равна (2\sqrt{11}).