Кто умный в математике? Найдите все действительные числа α такие, что для любого положительного целого n
целое число
⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋
кратно n. (Здесь ⌊z⌋ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее z. Например, ⌊−π⌋ = −4 и ⌊2⌋ = ⌊2,9⌋ = 2.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для любого положительного целого n, сумма ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋ кратна n, если и только если α - целое число или является полуцелым.

Доказательство:

Пусть α - целое число, т.е. α = k, где k - целое число.

Тогда ⌊nα⌋ = n⌊α⌋ = nk, так как ⌊k⌋ = k для целых чисел k.

Сумма становится ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋ = k + 2k + · · · + nk = k(1 + 2 + · · · + n) = kn(n+1)/2.

Это кратно n для любых n, так как n*(n+1)/2 делится на n.

Теперь предположим, что α - нецелое число, т.е. α = m + r, где m - целое число, а r - дробная часть.

Тогда ⌊nα⌋ = n⌊α⌋ + ⌊nr⌋.

Сумма становится ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋ = m + 2m + · · · + nm + ⌊nr⌋ = m(1 + 2 + · · · + n) + ⌊nr⌋.

Это равно (mn(n+1)/2) + ⌊nr⌋, что уже не всегда кратно n.

Таким образом, все действительные числа α, для которых сумма ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋ кратна n, должны быть либо целыми, либо полуцелыми.