2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(1 + 2,1,1) B(1, 1 + 2,1) C(1,1,1+2) D(0,0,0) Найдите:
а) длину вектора AB ;
б) объем пирамиды;
в) длину высоты h, опущенной из вершины D на основание ABC.
В условиях предыдущей задачи найти:
Г) уравнение плоскости ABC$
Д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на основание;
Ж) точку пересечения этой высоты с основанием.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Длина вектора AB:
AB = (1-1, 1-1, 1-1) = (0,1,0)
|AB| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = 1

б) Объем пирамиды:
По формуле объема пирамиды V = 1/3 S h, где S - площадь основания, h - высота.
Площадь основания ABC = 1/2 |AB| |AC| = 1/2 1 sqrt(2) = sqrt(2)/2
Высота пирамиды h = |AD| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3
V = 1/3 sqrt(2)/2 √3 = √6 / 6

в) Длина высоты h, опущенной из вершины D на основание ABC:
h = |AD| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3

Г) Уравнение плоскости ABC:
Найдем векторное произведение векторов AB и AC:
n = AB x AC = (1,0,1) => уравнение плоскости ABC:
x + z = 2

Д) Уравнение высоты, опущенной из вершины D на основание:
Уравнение прямой - это векторное уравнение, которое можно записать следующим образом:
r = D + t (AB x AC) = (0,0,0) + t (1,0,1) = (t,0,t)

Ж) Точка пересечения высоты с основанием:
Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости ABC:
t + t = 2
t = 1
Точка пересечения: (1,0,1)