Кто гений по математике? Найдите все действительные числа α такие, что для любого положительного целого n
целое число
⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋
кратно n. (Здесь ⌊z⌋ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее z. Например, ⌊−π⌋ = −4 и ⌊2⌋ = ⌊2,9⌋ = 2.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Только 0 и числа вида k + 1/n, где k - целое число, а n - натуральное число.

Для того чтобы доказать это, обозначим ⌊kα⌋ = m, тогда m ≤ kα < m + 1. Это означает, что k ≤ m/α < k + 1. Подставим это в исходное условие: m + 2m + ... + nm кратно n.

Отсюда следует, что сумма (k + 1/n) + 2(k + 1/n) + ... + n(k + 1/n) кратно n. Получаем, что сумма кратно n, поэтому k = 0. Следовательно, α имеет вид 1/n.

Теперь докажем, что только числа вида k + 1/n удовлетворяют условию.

Пусть α = k + 1/n, тогда ⌊nα⌋ = ⌊kn + 1⌋ = kn, так как kn ≤ kn + 1 < kn + 1. Таким образом, ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + ... + ⌊nα⌋ = k + 2k + ... + nk = k(n + 1)n/2.

Этот выражение кратно n для любого натурального числа n и любого целого k.

Таким образом, все действительные числа α, удовлетворяющие условию, имеют вид k + 1/n, где k - целое число, а n - натуральное число.

Гену на мыло. Ответ неверен и по форме и по существу. "Доказательство" начинается с жульничества.