Умножение в пятницу тринадцатого #2. В пятницу тринадцатого Аня и Таня упражняются в умножении.
Таня взяла целое положительное число m и умножает его на 5 до тех пор, пока сумма цифр результата не станет ровно в 13 раз меньше чем у исходного числа.
[Т.е. сначала вычисляет 5m. Если S(5m) = S(m)/13, то заканчивает умножать.
Иначе вычисляет 5*5m = 25m. Если S(25m) = S(m)/13, то заканчивает умножать.
Иначе вычисляет 5*25m = 125m. Если S(125m) = S(m)/13, то заканчивает умножать.
Иначе вычисляет 5*125m = 625m. Если S(625m) = S(m)/13, то заканчивает умножать.
И т.д
(S(k) означает сумму цифр числа k.)]
После какого НАИМЕНЬШЕГО числа умножений Таня может остановиться?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте рассмотрим пример.

Пусть m = 51.

Тогда:
551 = 255, S(255) = 12 (сумма цифр 255)
5255 = 1275, S(1275) = 15
51275 = 6375, S(6375) = 21
56375 = 31875, S(31875) = 24
531875 = 159375, S(159375) = 30
5159375 = 796875, S(796875) = 42
5796875 = 3984375, S(3984375) = 39
53984375 = 19921875, S(19921875) = 33
5*19921875 = 99609375, S(99609375) = 42

Поэтому в данном случае Тане потребовалось 9 умножений, чтобы сумма цифр результата стала ровно в 13 раз меньше суммы цифр исходного числа.

Теперь давайте обобщим:

Для любого числа m, которое не делится на 5, Тане потребуется 9 умножений, чтобы сумма цифр результата стала ровно в 13 раз меньше суммы цифр исходного числа.

Поэтому НАИМЕНЬШЕЕ число умножений, после которого Таня может остановиться, равно 9.