Кто умен в математике? Найдите все действительные числа α такие, что для любого положительного целого n
целое число
⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋
кратно n. (Здесь ⌊z⌋ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее z. Например, ⌊−π⌋ = −4 и ⌊2⌋ = ⌊2,9⌋ = 2.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим ⌊nα⌋ = kn + r, где 0 ≤ r < n. Тогда

⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋ = k(1 + 2 + · · · + n) + r(1 + 1 + · · · + 1) = k(1 + 2 + · · · + n) + rn.

Но так как это выражение должно быть кратно n для всех положительных целых n, мы должны иметь r = 0. Таким образом, ⌊nα⌋ = kn для некоторого целого k.

Таким образом, все действительные числа α, для которых данный ряд кратно n для каждого положительного целого n, будут иметь вид α = m + 1/2 для некоторого целого m.