Кто гений математики? Найдите все действительные числа α такие, что для любого положительного целого n
целое число
⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋
кратно n. (Здесь ⌊z⌋ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее z. Например, ⌊−π⌋ = −4 и ⌊2⌋ = ⌊2,9⌋ = 2.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть α = q + r, где q - целая часть числа α, r - дробная часть числа α.

Так как ⌊α⌋ = q, ⌊2α⌋ = ⌊2q + 2r⌋ = 2q, ..., ⌊nα⌋ = ⌊nq + nr⌋ = nq, то сумма ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋ равна q + 2q + ... + nq = n(q + r + 2q + 2r + ... + nq + nr) = n(qn + r(1 + 2 + ... + n))

Таким образом, условие кратности n выполняется тогда и только тогда, когда выражение r(1 + 2 + ... + n) - целое число.

Заметим, что 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) / 2, поэтому r(n(n + 1) / 2) должно быть целым числом.

Таким образом, r должно быть вида k / (n(n + 1) / 2), где k - целое число.

Итак, все действительные числа α, удовлетворяющие условию, имеют вид α = q + k / (n(n + 1) / 2), где q - целое число, k - целое число.

Например, если n = 1, то α = q + k, где q, k - целые числа.