Кто умный в математике? Найдите все действительные числа α такие, что для любого положительного целого n
целое число
⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋
кратно n. (Здесь ⌊z⌋ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее z. Например, ⌊−π⌋ = −4 и ⌊2⌋ = ⌊2,9⌋ = 2.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что величина ⌊nα⌋ = n⌊α⌋ + r, где r - остаток от деления nα на 1. Так как ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋ кратно n, то сумма всех остатков также должна быть кратна n. Но сумма всех остатков от деления на 1 от 1 до n равна 0. Значит, nα должно быть целым числом для любого положительного n.

Значит, все такие α должны быть целыми числами.