Решить уравнение. разложите степени, если их показатели складываются 2^(z+4)-16*2^(z+3)-2^(z+1)+16<=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем данное уравнение:

2^(z+4) - 16*2^(z+3) - 2^(z+1) + 16 <= 0

Упростим через свойство степени:
162^(z+3) = 2^(4) 2^(z+3) = 2^(3+z+3) = 2^(z+6)

Теперь подставим это в уравнение:
2^(z+4) - 2^(z+6) - 2^(z+1) + 16 <= 0

Преобразуем:
2^(z+4) - 2^(z+6) - 2^z * 2 + 16 <= 0
2^(z+4) - 2^(z+6) - 2^(z+1) + 16 <= 0

Преобразуем последние два слагаемых под одну степень:
2^(z+4) - 2^(z+6) - 2^(z+1) + 16 <= 0
2^(z+4) - 642^z - 2^(z+1) + 16 <= 0
2^(z+4) - 642^z - 2*2^z + 16 <= 0

Далее, объединим все степени:
2^(z+4) - 642^z - 22^z + 16 <= 0
2^(z+4) - 66*2^z + 16 <= 0

Теперь решим это уравнение. Чтобы решить данное неравенство, нужно использовать метод замены:

Пусть y = 2^z
Тогда уравнение примет вид:
2y^2 - 66y + 16 <= 0

Факторизуем данное квадратное уравнение:
2y^2 - 66y + 16 = 0
y^2 - 33y + 8 = 0

Далее, решаем это уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = 33^2 - 418 = 1089 - 32 = 1057

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
y1,2 = (33 ± √1057) / 2

Теперь найдем значения в исходном виде:
z = log2(y)
z1 = log2((33 + √1057) / 2)
z2 = log2((33 - √1057) / 2)

Итак, уравнение имеет два корня:
z1 ≈ 6.247, z2 ≈ -4.580

Таким образом, решением данного неравенства является:
-4.580 ≤ z ≤ 6.247