Нахождение неопределенного интеграла Методом интегрирования по частям
вычислить следующие интегралы
e) интеграл x^2cosx dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения интеграла x^2cosx dx методом интегрирования по частям, мы используем формулу:

∫u dv = uv - ∫v du

Выберем в качестве u = x^2 и dv = cos x dx, тогда
du = 2x dx и v = ∫cos x dx = sin x

Подставляем это в формулу:

∫x^2cosx dx = x^2sinx - ∫2xsinx dx

Интегрируем ∫2xsinx dx методом интегрирования по частям:

Выберем u = 2x и dv = sin x dx, тогда
du = 2 dx и v = -cos x

Подставляем это в формулу:

∫2xsinx dx = -2xcosx - ∫(-2cosx) dx
= -2xcosx + 2∫cosx dx
= -2xcosx + 2sinx + C

Теперь подставляем это обратно в исходный интеграл:

∫x^2cosx dx = x^2sinx - (-2xcosx + 2sinx) + C
= x^2sinx + 2xcosx - 2sinx + C

Ответ: ∫x^2cosx dx = x^2sinx + 2xcosx - 2sinx + C, где C - произвольная постоянная.