Решить задачу с векторами В треугольнике АВС точки К, L, М расположены соответственно на сторонах АВ, ВС и АС так, что АК :KB= BL: LC = СМ: MA = 3:1. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке Р. Найти координаты вектора.
AP в базисе LK, LM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты векторов AK, BL и CM.
Пусть вектор AB = a, BC = b и CA = c.

Тогда AK = (3/4)a, KB = (1/4)a
BL = (3/4)b, LC = (1/4)b
CM = (3/4)c, MA = (1/4)c

Теперь найдем координаты векторов LK и LM:
LK = KB - KL = (1/4)a - (3/4)b = -(1/2)(b - a)
LM = MC - ML = (3/4)c - (1/4)b = (1/2)(c - b)

Так как вектор AP = r1LK + r2LM, можно записать:
AP = r1(-1/2)(b - a) + r2(1/2)(c - b) = (-1/2)r1b + (1/2)(r1 + r2)c + (1/2)r2a

Поскольку вектора AP, LK и LM линейно независимы, найдем r1 и r2 из системы уравнений:
-1/2 = x
1/2 = x + y

Таким образом, r1 = -1/2, r2 = 1/2.

Итак, координаты вектора AP в базисе LK, LM равны (-1/2, 1/2).